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高中数学解题思想方法  

2016-01-29 19:30:54|  分类: 高中数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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第一章  高中数学解题基本方法
一、 配方法
   配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成"完全平方")的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用"裂项"与"添项"、"配"与"凑"的技巧,从而完成配方。有时也将其称为"凑配法"。
   最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
   配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)=a+2ab+b,将这个公式灵活运用,可得到各种基本配方形式,如:
   a+b=(a+b)-2ab=(a-b)+2ab;
   a+ab+b=(a+b)-ab=(a-b)+3ab=(a+)+(b);
   a+b+c+ab+bc+ca=[(a+b)+(b+c)+(c+a)]
   a+b+c=(a+b+c)-2(ab+bc+ca)=(a+b-c)-2(ab-bc-ca)=...
   结合其它数学知识和性质,相应有另外的一些配方形式,如:
   1+sin2α=1+2sinαcosα=(sinα+cosα);
   x+=(x+)-2=(x-)+2 ;...... 等等。
   Ⅰ、再现性题组:
   1. 在正项等比数列{a}中,a?a+2a?a+a?a=25,则 a+a=_______。
   2. 方程x+y-4kx-2y+5k=0表示圆的充要条件是_____。
       A. <k<1       B. k<或k>1      C. k∈R       D. k=或k=1
   3. 已知sinα+cosα=1,则sinα+cosα的值为______。
       A. 1             B.  -1           C. 1或-1     D. 0
   4. 函数y=log (-2x+5x+3)的单调递增区间是_____。
       A. (-∞, ]    B.  [,+∞)      C.  (-,]   D. [,3)
   5. 已知方程x+(a-2)x+a-1=0的两根x、x,则点P(x,x)在圆x+y=4上,则实数a=_____。
   【简解】 1小题:利用等比数列性质aa=a,将已知等式左边后配方(a+a)易求。答案是:5。 
   2小题:配方成圆的标准方程形式(x-a)+(y-b)=r,解r>0即可,选B。
   3小题:已知等式经配方成(sinα+cosα)-2sinαcosα=1,求出sinαcosα,然后求出所求式的平方值,再开方求解。选C。
   4小题:配方后得到对称轴,结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。
   5小题:答案3-。
   Ⅱ、示范性题组:
   例1. 已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为_____。
       A. 2          B.           C. 5             D.  6
   【分析】 先转换为数学表达式:设长方体长宽高分别为x,y,z,则 ,而欲求对角线长,将其配凑成两已知式的组合形式可得。
   【解】设长方体长宽高分别为x,y,z,由已知"长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24"而得:。
   长方体所求对角线长为:===5
   所以选B。
   【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。
   例2. 设方程x+kx+2=0的两实根为p、q,若()+()≤7成立,求实数k的取值范围。
   【解】方程x+kx+2=0的两实根为p、q,由韦达定理得:p+q=-k,pq=2 ,
   ()+()====≤7, 解得k≤-或k≥ 。
   又 ∵p、q为方程x+kx+2=0的两实根, ∴  △=k-8≥0即k≥2或k≤-2
   综合起来,k的取值范围是:-≤k≤- 或者 ≤k≤。
   【注】 关于实系数一元二次方程问题,总是先考虑根的判别式"Δ";已知方程有两根时,可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到p+q、pq后,观察已知不等式,从其结构特征联想到先通分后配方,表示成p+q与pq的组合式。假如本题不对"△"讨论,结果将出错,即使有些题目可能结果相同,去掉对"△"的讨论,但解答是不严密、不完整的,这一点我们要尤为注意和重视。
   例3. 设非零复数a、b满足a+ab+b=0,求()+() 。
   【分析】 对已知式可以联想:变形为()+()+1=0,则=ω (ω为1的立方虚根);或配方为(a+b)=ab 。则代入所求式即得。
   【解】由a+ab+b=0变形得:()+()+1=0 ,
   设ω=,则ω+ω+1=0,可知ω为1的立方虚根,所以:=,ω==1。
   又由a+ab+b=0变形得:(a+b)=ab ,
   所以 ()+()=()+()=()+()=ω+=2 。
   【注】 本题通过配方,简化了所求的表达式;巧用1的立方虚根,活用ω的性质,计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程,有较大的灵活性,要求我们善于联想和展开。
   【另解】由a+ab+b=0变形得:()+()+1=0 ,解出=后,化成三角形式,代入所求表达式的变形式()+()后,完成后面的运算。此方法用于只是未联想到ω时进行解题。
   假如本题没有想到以上一系列变换过程时,还可由a+ab+b=0解出:a=b,直接代入所求表达式,进行分式化简后,化成复数的三角形式,利用棣莫佛定理完成最后的计算。
   Ⅲ、巩固性题组:
1. 函数y=(x-a)+(x-b)  (a、b为常数)的最小值为_____。
A.  8      B.       C.       D.最小值不存在
2. α、β是方程x-2ax+a+6=0的两实根,则(α-1) +(β-1)的最小值是_____。
A.  -    B.  8     C. 18    D.不存在
3. 已知x、y∈R,且满足x+3y-1=0,则函数t=2+8有_____。
A.最大值2    B.最大值     C.最小值2    B.最小值
4. 椭圆x-2ax+3y+a-6=0的一个焦点在直线x+y+4=0上,则a=_____。
A.  2         B.  -6       C. -2或-6      D.  2或6
5. 化简:2+的结果是_____。
A.  2sin4     B.  2sin4-4cos4     C.  -2sin4     D.  4cos4-2sin4
   6. 设F和F为双曲线-y=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠FPF=90°,则△FPF的面积是_________。
   7. 若x>-1,则f(x)=x+2x+的最小值为___________。
   8. 已知〈β<α〈π,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,求sin2α的值。(92年高考题)
   9. 设二次函数f(x)=Ax+Bx+C,给定m、n(m<n),且满足A[(m+n)+ mn]+2A[B(m+n)-Cmn]+B+C=0 。 
① 解不等式f(x)>0;
   ② 是否存在一个实数t,使当t∈(m+t,n-t)时,f(x)<0 ?若不存在,说出理由;若存在,指出t的取值范围。
10. 设s>1,t>1,m∈R,x=logt+logs,y=logt+logs+m(logt+logs),
① 将y表示为x的函数y=f(x),并求出f(x)的定义域;
② 若关于x的方程f(x)=0有且仅有一个实根,求m的取值范围。
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